Question

14、給出下列命題：
（1）若實數x滿足log₂₀₀₉x=2009^-x，則有x²＞x＞1成立；
（2）若a＞0，b＞0，則不等式a³+b³≥3ab²恒成立；
（3）對于函數f（x）=2x²+mx+n，若f（a）＞0，f（b）＞0，則函數在（a，b）內至多有一零點；
（4）函數y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；
則其中所有正確命題的序號是

（1），（4）

．

Answer 1

分析：本題綜合考查了函數與方程，不等式的證明，函數的零點，函數的對稱性，我們根據上述知識點對題目中四個結論逐一進行判斷，即可得到結論．

解答：解：分別畫出函數y=log₂₀₀₉x，y=2009^-x，的圖象，觀察圖象知，它們的交點的橫坐標大于1，從而有x²＞x＞1成立，即（1）正確；
當a=b=1時，a³+b³=2＜3ab²=3，故a＞0，b＞0則不等式a³+b³≥3ab²恒成立（2）錯誤；
對于函數f（x）=2x²+mx+n．若f（a）＞0．f（b）＞0，則函數在（a，b）內至少有一個零點，故（3）錯誤；
y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于x=2對稱，故（4）正確．
故答案為：（1），（4）

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，奇偶函數圖象的對稱性，函數的零點等知識，注意應用舉反例的方法否定結論，以便于判斷真假．