Question

在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) 直線與圓相切

試題分析：(Ⅰ) 由題意得 ，又，結合,可解得的值,從而得橢圓的標準方程.(Ⅱ)設,則,當直線與軸垂直時,由橢圓的對稱性易求兩點的坐標,并判斷直線與圓是否相切.當直線的不與軸垂直時,可設其方程為
,與橢圓方程聯立方程組消法得: ，
  ,結合,可得與的關系,由此可以判斷與該直線與圓的位置關系.
試題解析：解(Ⅰ)由已知得,由題意得 ，又，              2分
消去可得，，解得或（舍去），則，
所以橢圓的方程為．                          4分
(Ⅱ)結論：直線與圓相切.
證明:由題意可知,直線不過坐標原點,設的坐標分別為 
(ⅰ)當直線軸時,直線的方程為且 
則 
    
解得，故直線的方程為 ，
因此,點到直線的距離為，又圓的圓心為,
半徑 所以直線與圓相切  7分
(ⅱ)當直線不垂直于軸時,
設直線的方程為，聯立直線和橢圓方程消去得；
得 ，
 
 
  ，故，
即①                           10分
又圓的圓心為,半徑，
圓心到直線的距離為，
② 將①式帶入②式得：，
所以 因此,直線與圓相切                 13分