已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同時滿足條件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，
則m的取值范圍是________．
解析 當x<1時，g(x)<0，當x>1時，g(x)>0，當x＝1時，g(x)＝0，m＝0不符合要求；當m>0時，根據函數f(x)和函數g(x)的單調性，一定存在區間[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0時不符合第①條的要求；當m<0時，如圖所示，如果符合①的要求，則函數f(x)的兩個零點都得小于1，如果符合第②條要求，則函數f(x)至少有一個零點小于－4，問題等價于函數f(x)有兩個不相等的零點，其中較大的零點小于1，較小的零點小于－4，函數f(x)的兩個零點是2m，－(m＋3)，故m滿足
或
解第一個不等式組得－4<m<－2，第二個不等式組無解，故所求m的取值范圍是(－4，－2)．
答案 (－4，－2)
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源：江蘇省阜寧縣中學2011－2012學年高二下學期期中調研考試數學試題 題型：022
已知f(x)＝x2＋bx＋c為偶函數，曲線y＝f(x)過點(2，5)，g(x)＝(x＋m)f(x)．若曲線y＝g(x)有斜率為0的切線，則實數m的取值范圍為________．
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科目：高中數學 來源：2012年普通高等學校招生全國統一考試北京卷數學理科 題型：022
已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2．若同時滿足條件：
①
x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②
x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，則m的取值范圍是________．
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科目：高中數學 來源：湖南省郴州市一中2012屆高三第六次質量檢測數學文科試題 題型：044
已知f(x)＝mx(m為常數，m＞0且m≠1)．
設f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N?)是首項為m2，公比為m的等比數列．
(1)求證：數列{an}是等差數列；
(2)若bn＝an·f(an)，且數列{bn}的前n項和為Sn，當m＝2時，求Sn；
(3)若cn＝f(an)lgf(an)，問是否存在m，使得數列{cn}中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省高三8月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設切點為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
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