Question

對(duì)于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“0-1數(shù)列”.定義變換，將“0-1數(shù)列”中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0. 例如:1,0,1，則設(shè)是“0-1數(shù)列”，令
.
(Ⅰ) 若數(shù)列：求數(shù)列；
(Ⅱ) 若數(shù)列共有10項(xiàng)，則數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)？請(qǐng)說明理由；
(Ⅲ)若為0，1，記數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為，.求關(guān)于的表達(dá)式.

Answer 1

解：(Ⅰ)由變換的定義可得    …………………………2分
                            ………………………………4分
(Ⅱ) 數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有10對(duì)  ………………………………5分
證明：對(duì)于任意一個(gè)“0-1數(shù)列”，中每一個(gè)1在中對(duì)應(yīng)連續(xù)四項(xiàng)1,0,0,1，在中每一個(gè)0在中對(duì)應(yīng)的連續(xù)四項(xiàng)為0,1,1,0，
因此，共有10項(xiàng)的“0-1數(shù)列”中的每一個(gè)項(xiàng)在中都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)連續(xù)相等的數(shù)對(duì)，
所以中至少有10對(duì)連續(xù)相等的數(shù)對(duì).   ……………………………8分
(Ⅲ) 設(shè)中有個(gè)01數(shù)對(duì)，
中的00數(shù)對(duì)只能由中的01數(shù)對(duì)得到，所以，
中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由中的1得到； ②由中00得到，
由變換的定義及可得中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且共有個(gè)，
所以，
所以，
由可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，
若為偶數(shù)，



上述各式相加可得，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，也滿足
若為奇數(shù)，



上述各式相加可得，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，也滿足
所以…………………………………………..13分

解析