Question

【題目】已知a為常數，函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個解x1 ， x2函數g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
．
①當a≤0時，g′（x）＞0，f′（x）單調遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個零點，不符合題意，應舍去．
②當a＞0時，令g′（x）=0，解得x= ，
∵x ，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增； 時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
∴x= 是函數g（x）的極大值點，則 ＞0，即 ＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即 ．
故當0＜a＜ 時，g（x）=0有兩個根x1 ， x2 ， 且x1＜ ＜x2 ， 又g（1）=1﹣2a＞0，
∴x1＜1＜ ＜x2 ， 從而可知函數f（x）在區間（0，x1）上遞減，在區間（x1 ， x2）上遞增，在區間（x2 ， +∞）上遞減．
∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣ ．
故選：D．
先求出f′（x），令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個解x1 ， x2函數g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導數與函數極值的關系即可得出．