Question

已知直線l₁過A（0，1），與直線x=-2相交于點P（-2，y₀），直線l₂過B（0，-1）與x相交于Q（x₀，0），x₀、y₀滿足y0-

x0

2

=1，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求直線l₁的方程（方程中含有y₀）；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F₁的直線l與C相交于點A、B，F₂為C的右焦點，求△ABF₂面積最大時點F₂到直線l的距離．

Answer 1

（Ⅰ）∵直線l₁過A（0，1），與直線x=-2相交于點P（-2，y₀），
∴直線l₁的斜率k為k=

1-y0

2

．
∴直線l₁的方程為y=

1-y0

2

x+1．…（3分）
（Ⅱ）當x₀=0時，直線l₂就是y軸，M（0，1）．
當x₀≠0時，直線l₂方程為y=

1

x0

x-1．（1）
∵y0-

x0

2

=1，∴k=-

x0

4

，
∴直線l₁的方程可變為y=-

x0

4

x+1．（2）
由（1）（2）得

x2

4

+y2=1．
∵P點在直線x=-2上，
∴l₂不經過B（0，-1），即B（0，-1）不在軌跡C上，
∴軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1（y≠-1）．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，根據題意直線l與x軸不能重合，
∴可設l的方程為x=ky-

3

，又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把x=ky-

3

代入

x2

4

+y2=1化簡并整理得(k2+4)y2-2

3

ky-1=0，
∴y1+y2=

2 3 k

k2+4

，y1y2=-

1

k2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2 3 k k2+4 )2+ 4 k2+4

=4

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

，
∴△ABF₂面積S=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=4

3

•

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

≤4

3

•

1 2 (k2+1)• 9 k2+1 +6

=2，
當且僅當k2+1=

9

k2+1

，即k=±

2

時等號成立．
∴△ABF₂面積最大時，l的方程為x±

2

y+

3

=0，
點F2(

3

，0)到直線l的距離d為d=

| 3 + 3 |

3

=2．…（14分）