Question

 如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2， ∠ACB=90°，D、E分別為AC、AA₁的中點.點F為棱AB上的點.
(Ⅰ)當點F為AB的中點時.
(1)求證：EF⊥AC₁；
(2)求點B₁到平面DEF的距離.
(Ⅱ)若二面角A-DF-E的大小為的值.

Answer 1

(1)證明見解析，(2) C₁O= ，(3)

(1)(1)DF∥BC,BC⊥AC,∴DF⊥AC
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面ACC₁A₁
∴DF⊥AC₁
∵ACC₁A₁是正方形 ∴AC₁⊥DE
∴AC₁⊥面DEF∴AC₁⊥EF，即EF⊥AC₁
(2)∵B₁C₁∥BC，BC∥DF，∴B₁C₁……∥平面DEF
點在B₁到平面DEF的距離等于點C₁到平面DEF的距離
∴DF⊥平面ACC₁A₁∴平面DEF⊥平面ACC₁A₁
∵AC₁⊥DE∴AC₁⊥平面DEF
設AC₁∩DE=O，則C₁O就是點C₁到平面DEF的距離
由題設計算，得C₁O= 
(3)當點F為AB的中點即=1時，DF∥BC,∴DF⊥AC,∵AA1⊥面ABC，∴ED⊥DF，∠EDA即為二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=