Question

已知橢圓E：的左、右焦點分別為F₁、F₂，上、下頂點分別為B₁、B₂，四邊形B₁F₁B₂F₂的一個內角等于，橢圓過點P（1，）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l的斜率等于橢圓E的離心率，且交橢圓于A、B兩點，直線PA和PB分別交x軸于點M、N，求證：|PM|=|PN|．

Answer 1

解：（1）由b＞，
知，
∴，
設所求橢圓方程為，
把點P（1，）代入，得b²=3，a²=4，
∴橢圓方程為．
（2），離心率，
設直線l的方程為，
代入橢圓方程，整理得x²+mx+m²-3=0，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
要證|PM|=|PN|，只需證直線PA的斜率k₁與直線PB的斜率k₂互為相反數，
k₁+k₂=
∵（2y₁-3）（x₂-1）+（2y₂-3）（x₁-1）
=（x₁+2m-3）（x₂-1）+（x₂+2m-3）（x₁-1）
=2x₁x₂+（2m-4）（x₁+x₂）+6-4m
=2（m²-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0
所以，k₁+k₂=0，
因此|PM|=|PN|．
分析：（1）由b＞，知，所以，設所求橢圓方程為，把點P（1，）代入，能求出橢圓方程．
（2），離心率，設直線l的方程為，代入橢圓方程，得x²+mx+m²-3=0，所以x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，要證|PM|=|PN|，只需證直線PA的斜率k₁與直線PB的斜率k₂互為相反數．
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．