Question

【題目】已知，設函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）是否存在整數，對于任意，關于的方程在區間上有唯一實數解？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞減區間是，當時，單調遞減區間是和，單調遞增區間是

（2）存在，

【解析】

（1）根據題意單調，求導，令，分，兩者情況討論求解.

（2）先求時，的根，得到區間，當時，求導 ，討論，時，，當且，利用等比數列求和公式得到，分析得，得到在R上是減函數，再論證，，利用零點存在定理得到結論.

（1）因為，

所以，，

令，

，

當時，，，所以在R上單調遞減，

當時，，方程有兩個不等根，

當時，，當時，，當時，，

所以在遞減，在上遞增.

綜上：當時，的減區間是，

當時， 的減區間是，，增區間是.

（2）存在，對于任意，關于的方程在區間上有唯一實數解，理由如下：

當時，，令，解得，

所以關于的方程有唯一實數解.

當時，，，

若，則，

若，，

若且，，當時，，所以

當時，，所以，

故在R上是減函數.

又，

，

，

，

所以方程在區間上有唯一實數解.

綜上：對于任意，關于的方程在區間上有唯一實數解，所以.