Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數在，上的最大值；

（Ⅱ）討論函數的零點的個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.

（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）a＝1時，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用導數研究函數的單調性即可得出最值．

（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，則a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，討論f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零點個數，即轉化為討論函數y＝a（x﹣1）2與函數g（x）＝（2﹣x）ex的圖象交點個數．畫出函數g（x）＝（2﹣x）ex的圖象大致如圖．對a分類討論即可得出a＞0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有兩個零點，當a<0時，對a分類討論研究f(x)的圖象的變化趨勢得出結論.

（Ⅰ）a＝1時，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，

可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），

由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，

即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，

所以f（x）在[﹣2，1]單調遞減，在[1，2]上單調遞增，

所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1

所以f（x）max＝9﹣4e-2.

（Ⅱ）討論f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零點個數，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，則a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,轉化為討論函數y＝a（x﹣1）2與g（x）＝（2﹣x）ex的圖象交點個數，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由單調性可得：g（x）圖象大致如右圖：

所以當a=0時，y＝a（x﹣1）2=0與g（x）＝（2﹣x）ex圖象只有一個交點，

a＞0時，y＝a（x﹣1）2與函數g（x）＝（2﹣x）ex有兩個交點，

當a<0時，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），

當a=-時，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）遞增，又f（1）=-e<0,

f（3）=-e3=-e3>0，此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.

當a-時，f′（x）＝0的兩根為1，ln(-2a),

當1<ln(-2a)時，f（x）在（﹣∞，1）遞增；在（1，ln(-2a)）上遞減，在（ln(-2a)，+∞）遞增，又f（1）=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<a（x﹣1）2+（x﹣2）ex= f（x）,所以f（）>0,

此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.

當1>ln(-2a)時，f（x）在（﹣∞， ln(-2a)）遞增；在（ln(-2a),1）上遞減，在（1，+∞）遞增，又f(ln(-2a))= a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,

又f（1）=-e<0,同樣有f（）>0,

所以此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.

綜上當a＞0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有兩個零點

a≤0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.