Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線與圓相切，與橢圓相交于兩點(diǎn)，求證：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用離心率可得，進(jìn)而得到；將點(diǎn)代入橢圓方程可求得，從而得到橢圓方程；

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可求得坐標(biāo)，從而得到，得到；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由直線與圓相切可得到；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得到韋達(dá)定理的形式，從而表示出，整理可得，得到；綜合兩種情況可得到結(jié)論.

（1）由題意得：，即 橢圓方程為

將代入橢圓方程得：

橢圓的方程為：

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為：或

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，同理可得

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，即

直線與圓相切 ，即

聯(lián)立得：

設(shè)， ，

代入整理可得：

綜上所述：為定值