【題目】如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成，半圓柱體底面直徑
，
，
，D為半圓弧
的中點，若異面直線BD和
所成角的大小為
．
（1）證明：
平面
；
（2）求該幾何體的表面積和體積；
（3）求點D到平面
的距離．
【答案】（1）見解析（2）表面積為
，體積為
，（3）
【解析】
（1）先根據弧中點性質得
,再根據直三棱柱性質得
,最后根據線面垂直判定定理證結果，
（2）建立空間直角坐標系，根據異面直線BD和
所成角利用向量數量積解得棱柱的高，再根據圓柱側面積、柱體體積公式求幾何體的表面積和體積；
（3）利用等體積法求點D到平面
的距離．
（1）因為D為半圓弧
的中點，所以，
因為直三棱柱
,所以
平面
，
因為
平面,所以
因為
平面
,所以
平面；
（2）以A為坐標原點，AC,AB,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設棱柱的高為
則
因為異面直線BD和所成角的大小為
，所以
幾何體的表面積為
幾何體的體積為
（3）因為直三棱柱,所以
平面
，
即點D到平面的距離為
陽光課堂課時優化作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的各項均不為零．設數列的前n項和為Sn，數列
的前n項和為Tn， 且
．
（1）求
的值；
（2）證明：數列是等比數列；
（3）若
對任意的恒成立，求實數
的所有值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，圓錐的展開側面圖是一個半圓，
、
是底面圓
的兩條互相垂直的直徑，
為母線
的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點、
為對稱軸的拋物線的一部分．
（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為
；
（2）若圓錐的側面積為
，求拋物線焦點到準線的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的首項為
，設其前n項和為
，且對
有
，
．
（1）設
，求證：數列
為等差數列；
（2）求數列的通項公式;
（3）是否存在正整數m，k，使得
，
，
成等差數列？若存在，求出m，k的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
上的任意一點到兩定點
、
距離之和為
，直線
交曲線于
兩點，
為坐標原點．
（1）求曲線的方程；
（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段
的中點為
，求證：直線
的斜率與的斜率的乘積為定值；
（3）若直線過點
，求
面積的最大值，以及取最大值時直線的方程．
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