Question

（2011•松江區二模）我們把一系列向量

ai

（i=1，2，…，n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作{

ai

}．已知向量列{

ai

}滿足：

a1

，

an

=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2）．
（1）證明數列{|

ai

|}是等比數列；
（2）設θ_n表示向量

an-1

，

an

間的夾角，若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）設|

an

|•log₂|

an

|，問數列{c_n}中是否存在最小項？若存在，求出最小項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

2

||

an-1

|，知數列{

ai

}是等比數列．
（2）由cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 |•| an |

=

1 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

2 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

=

2

2

，知bn=

nπ

2

-1，由此能求出求S_n．
（3）由|

an

|=

2

(

2

2

)n-1=2

2-n

2

，知cn=

2-n

2

•2

2-n

2

．假設{c_n}中的第n項最小，由c1=

2

2

，c₂=0，能夠推導出數列{c_n}中存在最小項，最小項是c5=-

3

2

•2-

3

2

．

解答：解：（1）|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

…（1分）
=

2

2

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

2

||

an-1

|，∴數列{

ai

}是等比數列…（3分）
（2）∵cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 |•| an |

=

1 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

2 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

=

2

2

…（5分）
∴θn=

π

4

，∴bn=

nπ

2

-1…（7分）
∴Sn=(

1

2

π-1)+(

2

2

π-1)+…+(

n

2

π-1)=

π

4

(n2+n)-n…（8分）
（3）∵|

an

|=

2

(

2

2

)n-1=2

2-n

2

∴cn=

2-n

2

•2

2-n

2

…（10分）
假設{c_n}中的第n項最小，由c1=

2

2

，c₂=0，∴0≤c₂＜c₁…（11分）
當n≥3時，有c_n＜0，由c_n≤c_n+1
得  

2-n

2

•2

2-n

2

≤

2-(n+1)

2

•2

2-(n+1)

2

即

2-n

1-n

≥2-

1

2

，(

2-n

1-n

)2≥

1

2

n²-6n+7≥0，n≥3+

2

或n≤3-

2

（舍），
∴n≥5
即有c₅＜c₆＜c₇＜…；                                   …（13分）
由c_n≥c_n+1，得3≤n≤5，又0≤c₂＜c₁，∴c₅＜c₄＜…＜c₁；…（15分）
故數列{c_n}中存在最小項，最小項是c5=-

3

2

•2-

3

2

．…（16分）

點評：本題考查數列和向量的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．