Question

【題目】已知橢圓的離心率，是橢圓上一點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線(xiàn)的斜率為，且直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，判斷直線(xiàn)與的斜率之和是否為定值，如果是，請(qǐng)求出此定值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，0

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，解方程組即可求出、，即可求解.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓，設(shè)點(diǎn)、，可得點(diǎn)，利用韋達(dá)定理以及兩點(diǎn)求斜率化簡(jiǎn)即可求解.

（1）由題意知，

又離心率，所以，

于是有，

解得，．

所以橢圓的方程為；

（2）由于直線(xiàn)的斜率為．可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入橢圓，可得．

由于直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，

所以，

整理解得．

設(shè)點(diǎn)、，由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

故點(diǎn)，于是有，．

設(shè)直線(xiàn)與的斜率分別為，，由于點(diǎn)，

則

，

又，．

于是有

，

故直線(xiàn)與的斜率之和為0，即．