Question

【題目】已知橢圓的離心率，且經過點，，，，為橢圓的四個頂點（如圖），直線過右頂點且垂直于軸．

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）為上一點（軸上方），直線，分別交橢圓于，兩點，若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用橢圓的離心率和經過的點，列方程組求解即可．（2）設P（2，m），m＞0，得直線PC方程與橢圓聯立，利用韋達定理，推出E的坐標， 同理求F點橫坐標，由S△PCD＝2S△PEF，轉化求解即可．

（1）因的離心率，且經過點，

所以

解得，．所以橢圓標準方程為．

（2）由（1）知橢圓方程為，所以直線方程為，，．

設，，則直線的方程為，

聯立方程組消得，

所以點的橫坐標為；

又直線的方程為

聯立方程組消得，

所以點的橫坐標為．

由得，

則有，則，

化簡得，解得，因為，所以，

所以點的坐標為．