Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)=

x

．又g(x)=cos

πx

2

，則集合{x|f（x）=g（x）}等于（　　）

• A．{x|x=4k+

  1

  2

  ，k∈Z}
• B．{x|x=2k+

  1

  2

  ，k∈Z}
• C．{x|x=4k±

  1

  2

  ，k∈Z}
• D．{x|x=2k+1，k∈Z}

Answer 1

分析：利用條件判斷出函數(shù)f（x）的周期，然后利用兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象關(guān)系確定方程的解集．

解答：解：由f（2-x）=f（x），得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，
又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（2-x）=f（x）=-f（x-2），所以f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為4．
函數(shù)g（x）的周期也為4，
由作出兩個函數(shù)的圖象，在[-1，3]一個周期內(nèi)，f（x）=g（x）的值有兩個．
因為f（

1

2

）=

1 2

=

2

2

，且g（

1

2

）=cos

π

4

=

2

2

，所以交點的橫坐標(biāo)為

1

2

，同時
f（

5

2

）=f（2-

5

2

）=f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-

2

2

．且g（

5

2

）=cos

5π

4

=-

2

2

，所以交點的橫坐標(biāo)為

5

2

．
即在一個周期內(nèi)方程的f（x）=g（x）的解為x=

1

2

或

5

2

．
故在整個定義域內(nèi)有x=4m+

1

2

=2（2m）+

1

2

，或x=4m+

5

2

=2（2m）+2+

1

2

=2（2m+1）+

1

2

，
即x=2k+

1

2

，k∈Z．
故選B．

點評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．