Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t (O為坐標原點)，當|－|＜時，求實數t的取值范圍．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）∪.

【解析】(1)由題意知橢圓的離心率e＝＝，∴e2＝＝＝，即a2＝2b2.

又△EGF2的周長為4，即4a＝4，∴a2＝2，b2＝1.

∴橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)由題意知直線AB的斜率存在，即t≠0.

設直線AB的方程為y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由，

得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.

由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，得k2＜.

x1＋x2＝，x1x2＝，

∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.

∵點P在橢圓C上，∴＋2＝2，

∴16k2＝t2(1＋2k2)．

∵|－|＜，∴|x1－x2|＜，

∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜，

∴(1＋k2) ＜，

∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0，∴k2＞.

∴＜k2＜.∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－，

又<1＋2k2<2，∴<t2＝8－＜4，

∴－2＜t＜－或＜t＜2，

∴實數t的取值范圍為∪.