Question

【題目】數列{bn}的前n項和為Sn ， 且對任意正整數n，都有 ；
（1）試證明數列{bn}是等差數列，并求其通項公式；
（2）如果等比數列{an}共有2017項，其首項與公比均為2，在數列{an}的每相鄰兩項ai與ai+1之間插入i個（﹣1）ibi（i∈N*）后，得到一個新數列{cn}，求數列{cn}中所有項的和；
（3）如果存在n∈N* ， 使不等式 成立，若存在，求實數λ的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：n=1時，b1=1；n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =n．n=1時也成立．

∴bn=n為等差數列，首項與公差都為1

（2）解：通過題意，易得數列{an}的通項公式為an=2n，

當m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）時，

數列{cn}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）項，

其所有項的和為Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k﹣2）2]

=2（22k﹣1﹣1）+[3+7+…+（4k﹣5）]

=22k﹣2+（2k﹣1）（k﹣1）

= m（m﹣1）+2m+1﹣2．

∴m=2017時，數列{cn}中所有項的和=22018+2033134

（3）不等式 ，

即不等式（n+1） ≤（n+1）λ≤ ，

化為：f（n）= ≤λ≤1+ =g（n）．

∵f（n）≥f（3）=5+ ，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3時不等式不成立．

n≥4時，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N*，

使不等式 成立

【解析】（1）n=1時，b1=1；n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1=n，即可證明．（2）通過題意，易得數列{an}的通項公式為an=2n，
當m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）時，數列{cn}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）項，
其所有項的和為Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k﹣2）2]= m（m﹣1）+2m+1﹣2．取m=2017時，可得數列{cn}中所有項的和．（3）不等式 ，即不等式（n+1） ≤（n+1）λ≤ ，化為：f（n）= ≤λ≤1+ =g（n）．通過驗證：n=1，2，3時不等式不成立．n≥4時，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出結論．