Question

已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)都在上，求直線和拋物線的方程．

Answer 1

直線方程為，拋物線方程為

依題意設(shè)拋物線的方程可寫為，且軸和軸不是所求直線．
又過原點(diǎn)，因而可設(shè)的方程為           ①
設(shè)分別是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，因而，
直線的方程為          ②
由①，②聯(lián)立解得與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又為的中點(diǎn)，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為
 ③
同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為            ④
又均為拋物線上，由③得，
由此知，即         ⑤
同理由④得，即，
從而，整理得．
解得．
但當(dāng)時(shí)，由③知．
這與在拋物線上矛盾，故舍去．
設(shè)，則直線的方程為．
將代入⑤，求得．
所以直線方程為，拋物線方程為．