Question

已知函數f（x）=

kx-(k+1)

x

（1）若函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，求k的取值范圍；
（2）證明：當k=2時，不等式f（x）＜lnx對任意x＞0恒成立；
（3）證明：ln（1×2）+ln（2×3）+L+ln[n（n+1）]＞2n-3．

Answer 1

分析：（1）對函數求導數可得f′(x)=

k+1

x2

，由已知得，f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，可得結果．
（2）本題的思路較為清晰，那就是構造函數，令g(x)=lnx+

3

x

-2，利用導數g′(x)=

x-3

x2

轉化為函數的最值問題易得結論．
（3）在（2）的基礎上來解答本題很容易解決，由（2）得lnx＞2-

3

x

，于是求出通項a_n=ln[n（n+1）]的關系，然后利用數列求和的裂項相消法可得結論．

解答：解：（1）∵f（x）=k-

k+1

x

，∴f′(x)=

k+1

x2

∵f（x）是（0，+∞）上的增函數，∴f′(x)=

k+1

x2

≥0對x∈（0，+∞）恒成立．
∴k+1≥0，得k≥-1
而k=-1時f′（x）=0，f（x）=-1為常函數，不滿足條件，
∴k＞-1
（2）證明：當k=2時，∵f(x)=2-

3

x

∴不等式f（x）＜lnx對任意x＞0恒成立，等價于lnx+

3

x

-2＞0對任意x＞0恒成立．
令g(x)=lnx+

3

x

-2，則g′(x)=

x-3

x2

∴g（x）在（0，3）上遞減，在（3，+∞）上遞增，
∴g（x）≥g（3）=ln3-1＞0，即lnx+

3

x

-2＞0對任意x＞0恒成立．
∴不等式f（x）＜lnx對任意x＞0恒成立．
（3）證明：由（2）知，lnx+

3

x

-2＞0對任意x＞0恒成立，即lnx＞2-

3

x

．
∵n∈N^*，
∴ln[n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3(

1

n

-

1

n+1

)，
∴ln（1×2）+ln（2×3）+…+ln[n（n+1）]＞2n-3(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2n-3(1-

1

n+1

)＞2n-3

點評：本題考查導數在解決問題中的應用，解題的關鍵求出函數的導數f′（x）≥0恒成立來解答參數k的值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數在閉區間上的最值的問題．在（3）中的構造法解決問題時要對由函數到數列的特殊化要求，思路要認真嚴謹，避免過度太大，導致解題粗枝大葉的現象發生．