Question

定義平面向量之間的一種運算“*”如下：對任意的

a

=(m，n)，

b

=(p，q)，令

a

?

b

=mq-np．給出以下四個命題：（1）若

a

與

b

共線，則

a

?

b

=0；（2）

a

?

b

=

b

?

a

；（3）對任意的λ∈R，有(λ

a

)?

b

=λ(

a

?

b

)；（4）(

a

*

b

) 2+(

a

•

b

) 2=|

a

|2?|

b

|2．（注：這里

a

?

b

指

a

與

b

的數量積）其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：依據題中的定義運算“*”，逐一檢驗各個選項中的等式兩邊是否相等，從而得出結論．

解答：解：（1）設

a

=（x，y），∵若

a

與

b

共線，則

b

=（λx，λy ），

a

*

b

=x•λy-y•λx=0，故（1）正確；
（2）

a

?

b

=mq-np，而

b

*

a

=np-mq，故（2）不正確；
（3）對任意的λ∈R，有 λ

a

*

b

=（λm，λn ）*（p，q）=λmq-λnp，
λ（ 

a

*

b

）=λ （mq-np）=λmq-λnp，∴λ

a

*

b

=λ（ 

a

*

b

） 成立，故（3）正確；
（4） (

a

*

b

)2+(

a

•

b

)2=（mq-np）²+（mp+nq）²=m²q²+n²p²+m²p²+n²q²，
|

a

|2|

b

|2=（m²+n²）（p²+q²）=m²q²+n²p²+m²p²+n²q²，故（4）正確．
綜上，（1），（3），（4）正確，
故答案為：（1），（3），（4）．

點評：本題考查兩個向量的數量積的運算，共線向量的性質，屬于創新題．