Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點．求證：

（1）BD1∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，交AC于O．連接EO，BD1．

因為E為DD1的中點，所以BD1∥OE．）

又OE平面EAC，BD1平面EAC，

所以BD1∥平面EAC

（2）證明：∵BB1⊥AC，BD⊥AC．BB1∩BD=B，BB1、BD在面BB1D1D 內

∴AC⊥平面BB1D1D

又BD1平面BB1D1D∴BD1⊥AC．

同理BD1⊥AB1，∴BD1⊥平面AB1C．

由（1）得BD1∥OE，∴EO⊥平面AB1C．

又EO平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB1C

【解析】（1）連接BD，交AC于O．連接EO，BD1 ． 根據中位線可知BD1∥OE，又OE平面EAC，BD1平面EAC，根據線面平行的判定定理可知BD1∥平面EAC；（2）根據BB1⊥AC，BD⊥AC，BB1∩BD=B，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面BB1D1D，又BD1平面BB1D1D則BD1⊥AC，同理BD1⊥AB1 ， 從而BD1⊥平面AB1C．根據（1）可得BD1∥OE，從而EO⊥平面AB1C，又EO平面EAC，根據面面垂直的判定定理可知平面EAC⊥平面AB1C．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．