Question

【題目】綜合題
（1）已知函數f（x）=2x+ （x＞0），證明函數f（x）在（0， ）上單調遞減，并寫出函數f（x）的單調遞增區間；
（2）記函數g（x）=a|x|+2ax（a＞1） ①若a=4，解關于x的方程g（x）=3；
②若x∈[﹣1，+∞），求函數g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設x1，x2是區間（0， ）上的任意兩個實數，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（ ﹣ ）= ，

因為0＜x1＜x2＜ ，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜ ，故2x1x2﹣1＜0，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以函數f（x）在（0， ）上單調遞減，

函數f（x）的單調遞增區間為（ ，+∞）．

（2）解：①當a=4時，4|x|+24x=3，

（ⅰ）當x≥0時，4x+24x=3，即4x=1，所以x=0；

（ⅱ）當x＜0時，4﹣x+24x=3，

即2（4x）2﹣34x+1=0，

解得：4x=1或4x= ，

所以x=﹣ 或0（舍去）；

綜上所述，方程g（x）=3的解為x=0或x=﹣ ；

②（ⅰ）當x≥0時，g（x）=3ax，其中a＞1，

所以g（x）在[0，+∞）上單調遞增，g（x）min=g（0）=3，

所以g（x）在[0，+∞）上的值域為[3，+∞）；

（ⅱ）當x∈[﹣1，0）時，g（x）=a﹣x+2ax，其中a＞1，

令t=ax，則t∈[ ，1），g（x）=2t+ =f（t），

（ⅰ）若1＜a≤ ，則 ≥ ，

據（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ，1）上單調遞增，

所以f（ ）≤f（t）＜f（1），且f（ ）=a+ ，f（1）=3，

此時，g（x）在[﹣1，0）上的值域為[a+ ，3）；

（ⅱ）若a＞ ，則 ＜ ，

據（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ， ）上單調遞減，在（ ，1）上單調遞增，

所以f（t）min=f（ ）=2 ，又f（ ）=a+ ，f（1）=3，

當f（ ）≥f（1）時，g（x）在[﹣1，0）上的值域為[2 ，a+ ]，

當f（ ）＜f（1）時，g（x）在[﹣1，0）上的值域為[2 ，3）；

綜上所述，當1＜a≤ 時，函數g（x）在[﹣1，+∞）上的值域為[a+ ，+∞；

當a＞ 時，函數g（x）在[﹣1，+∞）上的值域為[2 ，+∞）．

【解析】（1）根據函數單調性的定義證明即可；（2）①將a=4帶入g（x），通過討論x的正負，去掉絕對值號，解方程即可；②通過討論x的范圍，求出g（x）的單調性，從而求出g（x）的值域即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數的單調性的理解，了解注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．