Question

（2011•孝感模擬）如圖，正四面體ABCD的外接球球心為D，E是BC的中點(diǎn)，則直線OE與平面BCD所成角的正切值為

2

2

．

Answer 1

分析：欲求直線OE與平面BCD所成角的正切值，需先找到直線在平面上的射影的位置，直線與它的射影所成角即直線OE與平面BCD所成角，根據(jù)四面體ABCD為正四面體，可得O點(diǎn)在平面BCD上的射影在DE上，在根據(jù)正四面體的性質(zhì)，即可求∠OED的正切值．

解答：解：設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，連接AE，DE，
∵四面體ABCD為正四面體，E為BC的中點(diǎn)，
∴AE=DE=

3

2

a，O點(diǎn)在平面ADE上，且OE等分∠AED
過(guò)O作OH垂直平面BCD，交平面BCD與H點(diǎn)，則H落在DE 上，
∴∠OED為直線OE與平面BCD所成角，∠OED=

1

2

∠AED
在△AED中，cos∠AED=

AE2+DE2-AD2

2AE•DE

=

( 3 a 2 )2+( 3a 2 )2-a2

2 3 a 2 • 3 a 2

=

1

3

，
∴cos²∠OED=cos

1

2

∠AED=

1+ 1 3

2

=

2

3

，sin²∠OED=

1

3

∴tan²∠OED=

1

2

，tan∠OED=

2

2

故答案為

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正四面體中的線面角的求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象力，公式的運(yùn)用，以及計(jì)算能力．