Question

如圖，設(shè)A、B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B分別在第一、二象限．C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB為等邊三角形．記以O(shè)x軸正半軸為始邊，射線OA為終邊的角為θ．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），求的值；
（2）設(shè)f（θ）=|BC|²，求函數(shù)f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義，求出sinθ，cosθ，再利用二倍角公式，即可得到結(jié)論；
（2）由題意，cos∠COB=cos（θ+60°），利用余弦定理，可得函數(shù)f（θ）的解析式，從而可求函數(shù)的值域．
解答：解：（1）∵A的坐標(biāo)為（，），以O(shè)x軸正半軸為始邊，射線OA為終邊的角為θ
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinθ=，cosθ=，
∴===20；
（2））∵△AOB為正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（θ+60°）
∴f（θ）=|BC|² =|OC|²+|OB|²-2|OC|•|OB|cos∠COB=2-2cos（θ+60°）
∵θ∈R，∴f（θ）∈[1，3]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查余弦定理求邊長(zhǎng)的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．