Question

【題目】有限數列，若滿足，是項數，則稱滿足性質.

（1）判斷數列和是否具有性質，請說明理由.

（2）若，公比為的等比數列，項數為10，具有性質，求的取值范圍.

（3）若是的一個排列都具有性質，求所有滿足條件的.

Answer 1

【答案】（1）第一個數列具有性質，第二個數列不具有性質；理由見解析；（2）；（3）答案見解析.

【解析】

（1）結合題設中的定義可判斷給定的兩個數列是否具有性質；

（2）等比數列具有性質等價于對任意的恒成立，就分類討論后可得的取值范圍.

（3）設，先考慮均不存在具有性質的數列，再分別考慮時具有性質的數列，從而得到所求的數列.

（1）對于第一個數列有，滿足題意，該數列滿足性質

對于第二個數列有不滿足題意，該數列不滿足性質.

（2）由題意可得，

兩邊平方得：

整理得：

當時，得， 此時關于恒成立，

所以等價于時，所以，

所以或者，所以取.

當時，得， 此時關于恒成立，

所以等價于時，所以，

所以，所以取.

當時，得.

當為奇數的時候，得， 很明顯成立，

當為偶數的時候，得， 很明顯不成立，

故當時，矛盾，舍去.

當時，得.

當為奇數的時候，得， 很明顯成立，

當為偶數的時候，要使恒成立，

所以等價于時，所以，

所以或者，所以取.

綜上可得，.

（3）設，，

因為， 故，

所以可以取或者，

若，，則，

故或（舍，因為），

所以（舍，因為）.

若，，則，

故（舍，因為），或

所以（舍，因為）.

所以均不能同時使，都具有性質.

當時，即有，

故，故，

故有數列：滿足題意.

當時，則且，故，

故有數列：滿足題意.

當時，，

故，故，

故有數列：滿足題意.

當時，則且，

故，

故有數列：滿足題意.

故滿足題意的數列只有上面四種.