Question

（本小題滿分13分）雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為，相應于焦點F（c,0）（c＞0）的準線與x軸交于點A，且|OF|=3|OA|,過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若=0，求直線PQ的方程.

Answer 1

= 1
x - -3 = 0或x +-3 = 0

解．（1）由題意，設曲線的方程為= 1（a＞0,b＞0）
由已知 解得a = ，c = 3所以雙曲線的方程為= 1…(6分)
（2）由（1）知A（1，0），F（3，0），
當直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為x =" 3" .此時,≠0,應舍去.
當直線PQ與x軸不垂直時,設直線PQ的方程為y ="k" ( x – 3 ).
由方程組 得
由于過點F的直線與雙曲線交于P、Ｑ兩點，則－２≠０，即k≠，
　　由于△＝36-4(-2)(9+6)=48(+1)＞0即k∈R.
∴k∈R且k≠（*）　………………………(８分)
設Ｐ（，），Ｑ（，），則

由直線PQ的方程得= k（-3），= k（-3）
于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9] （3）
∵ = 0，∴（-1，）·（-1，）= 0
即-（+）+ 1 + =" 0    " （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得
= 0
整理得=，∴k = 滿足（*）
∴直線PQ的方程為x - -3 = 0或x +-3 = 0………(13分)