Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在其定義域內單調遞增，求實數的最大值；

（2）若存在正實數對，使得當時，能成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）4（2）

【解析】

（1）先求導，再根據導數和函數的單調性的關系即可求出的范圍，

（2）根據題意可得，因此原問題轉化為存在正實數使得等式成立，構造函數，利用導數求出函數的值域，即可求出的取值范圍．

解析：（1）由題意得，

函數在其定義域內單調遞增，則在內恒成立，

故.

因為（等號成立當且僅當即）

所以（經檢驗滿足題目），所以實數的最大值為4.

（2）由題意得，則

，因此原問題轉化為：

存在正數使得等式成立.

整理并分離得，記，

要使得上面的方程有解，下面求的值域，

，故在上是單調遞減，

在上單調遞增，

所以，

又，故當，，

綜上所述，，

即實數的取值范圍為.