Question

（2009•上海）如圖，在直角坐標系xOy中，有一組對角線長為a_n的正方形A_nB_nC_nD_n（n=1，2，…），其對角線B_nD_n依次放置在x軸上（相鄰頂點重合）．設{a_n}是首項為a，公差為d（d＞0）的等差數列，點B₁的坐標為（d，0）．
（1）當a=8，d=4時，證明：頂點A₁、A₂、A₃不在同一條直線上；
（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點A_n均落在拋物線y²=2x上；
（3）為使所有頂點A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，求a與d之間所應滿足的關系式．

Answer 1

分析：（1）求出A₁A₂、A₁A₃的斜率，利用斜率不相等，即可得到結論；
（2）確定頂點A_n的橫坐標、縱坐標，即可證得結論；
（3）頂點A_n的橫、縱坐標，消去n-1，利用所有頂點A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，即可求a與d之間所應滿足的關系式．

解答：（1）證明：由題意可知，A₁（8，4），A₂（18，6），A₃（32，8），
∴kA1A2=

6-4

18-8

=

1

5

，kA1A3=

8-6

32-18

=

1

7

．
∵kA1A2≠kA1A3，
∴頂點A₁、A₂、A₃不在同一條直線上；
（2）證明：由題意可知，頂點A_n的橫坐標xn=d+a1+a2+…+an-1+

1

2

an=2（n+1）²，
頂點A_n的縱坐標yn=

1

2

an=2(n+1)．
∵對任意正整數n，點A_n（x_n，y_n）的坐標滿足方程y²=2x，
∴所有頂點A_n均落在拋物線y²=2x上．
（3）解：由題意可知，頂點A_n的橫、縱坐標分別是xn=d+

1

2

a+

1

2

(n-1)2d，yn=

1

2

[a+(n-1)d]
消去n-1，可得xn=

2

d

yn2+d+

a(d-a)

2d

為使得所有頂點A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則有

d 2 =2p d+ a(d-a) 2d =0

解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所應滿足的關系式是：a=2d．

點評：本題考查曲線與方程，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．