Question

已知f（x）是定義在R上的函數，且f（2+x）=-f（2-x），f(x+2)=-

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f(x)

．給出下列命題：
①f（0）=0；            
②函數f（x）是周期函數，并且周期為4；
③函數f（x）是奇函數；   
④函數f（x）的圖象關于y軸對稱；
⑤函數f（x）的圖象關于點（2，0）成中心對稱．
其中所有正確命題的序號為

①②③⑤

．（填寫所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：給出定義在R上的函數f（x），首先根據f(x+2)=-

1

f(x)

，思考兩次運用該等式，能把式中的“-”去掉，求出函數周期為4；然后結合等式f（2+x）=-f（2-x），取變量x=x+2，可以推出函數f（x）為奇函數；函數是奇函數，若圖象關于y軸對稱，同時又是偶函數，則有f（x）=0恒成立，這與已知等式不符；設出f（x）圖象上一點（x₀，y₀），說明該點關于（2，0）的對稱點也在函數圖象上，從而說明函數f（x）的圖象關于點（2，0）成中心對稱．

解答：解：在f(x+2)=-

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f(x)

中，取x=x+2，則f[（x+2）+2]=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），所以函數f（x）是以4為周期的周期函數，故命題②正確．
在f（2+x）=-f（2-x）中，取x=x+2，則有f（2+2+x）=-f[2-（2+x）]=-f（-x），即f（4+x）=-f（-x），因為函數的周期為4，所以
f（x）=-f（-x），所以，函數f（x）為奇函數，故命題③正確．
因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以有f（0）=0，故命題①①正確．
若函數圖象關于y軸對稱，則函數又為偶函數，所以函數解析式應為f（x）=0，由已知條件f(x+2)=-

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f(x)

知f（x）不恒為0，出現矛盾，所以命題④不正確．
設（x₀，y₀）是函數y=f（x）的圖象上的點，則y₀=f（x₀）=-f（-x₀）=-f（4-x₀），即-y₀=f（4-x₀），
所以點（4-x₀，y₀）也在函數y=f（x）的圖象上，而（4-x₀，y₀）是（x₀，y₀）關于（2，0）的對稱點，所以命題⑤正確．
故答案為①②③⑤．

點評：本題是考查抽象函數的性質，處理這類問題的關鍵是根據題目給出的條件，有效的給變量x賦予不同的取值，從而達到轉化為要解決的問題的目的．