Question

等差數列{a_n}中，首項a₁=1，公差d≠0，前n項和為S_n，已知數列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比數列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{k_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=

an

2kn-1

，數列{b_n}的前n項和為T_n．若存在一個最小正整數M，使得當n＞M時，S_n＞4T_n（n∈N^*）恒成立，試求出這個最小正整數M的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，有a₂²=a₁•a₅，計算可得等差數列的公差，又由首項a₁=1，可得數列{a_n}的通項公式，結合題意，可得等比數列a_k1，a_k2，a_k3，…，a_kn，…的公比q=3，進而可得a_kn=3^n-1，根據{a_n}的通項公式可得2k_n-1=3^n-1，進而可得{k_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據b_n=

an

2kn-1

，利用錯位相減法可求得數列{b_n}的前n項和為T_n，確定T_n單調遞增，關鍵Sn=n2在n∈N^*時單調遞增，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由a₂²=a₁•a₅，得（1+d）²=1•（1+4d），解得d=2，
∴a_n=2n-1，
∴a_kn=2k_n-1，
在等比數列中，公比q=

a2

a1

=3，∴a_kn=3^n-1，
∴2k_n-1=3^n-1，解得k_n=

3n-1+1

2

．
（Ⅱ）b_n=

an

2kn-1

=

2n-1

3n-1

，則Tn=

1

30

+

3

31

+…+

2n-1

3n-1

，

1

3

T_n=

1

31

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，
兩式相減得：

2

3

T_n=1+

2

31

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=2-

2n+2

3n

，
∴T_n=3-

n+1

3n-1

∵T_n+1-T_n=

2n+1

3n

＞0，
∴T_n單調遞增，∴1≤T_n＜3．
又Sn=n2在n∈N^*時單調遞增．
且S₁=1，4T₁=4；S₂=4，4T₂=8；S₃₌₉，4T₃=

92

9

；S₄=16＞12，4T₄＜12；…．
故當n＞3時，S_n＞4T_n恒成立，則所求最小正整數M的值為3．

點評：本題考查等比數列的性質以及錯位相減法的應用，錯位相減法是重要的數列求和方法，需要熟練掌握．