Question

設函數f(x)=+x²+bx+c(a、b、c∈R),函數f(x)的導數記為f′(x).

(1)若a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求a、b、c的值;

(2)若a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),且F(n)=.

求證:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜(n∈N^*).

(3)設關于x的方程f′(x)=0的兩個實數根為α、β,且1＜α＜β＜2.

試問:是否存在正整數n₀,使得|f′(n₀)|≤?說明理由.

Answer 1

(1)解：a=-1,b=c=-3.

(2)證明：f′(n)=n²-n-3,F(n)==.

當n=1時,F(1)=-1＜;當n=2時,F(1)+F(2)=-1+1=0＜;當n≥3時,F(n)=＜==(-).

F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜F(1)+F(2)+［(1-)+(-)+(-)+…+(-)］

=(1++---)＜.

所以F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜(n∈N^*).

(3)解：f′(x)=(x-α)(x-β),

f′(1)·f′(2)=(1-α)(1-β)(2-α)(2-β)

=(α-1)(β-1)(2-α)(2-β)=(α-1)(2-α)(β-1)(2-β)

≤［］²［］²=.

∴0＜f′(1)≤或0＜f′(2)≤.