Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，

E是PC的中點．求證：

（Ⅰ）CD⊥AE；

（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先證明CD⊥平面PAC，然后證明CD⊥AE；

（Ⅱ）要證PD⊥平面ABE，只需證明PD垂直平面ABE內的兩條相交直線AE與AB即可．

證明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，

故CD⊥平面PAC．

又AE平面PAC，∴CD⊥AE．

（Ⅱ）由題意：AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD，從而AB⊥PD．

又AB=BC，且∠ABC=60°，

∴AC=AB，從而AC=PA．

又E為PC之中點，∴AE⊥PC．

由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，從而AE⊥PD．

又AB∩AE=A，

故PD⊥平面ABE．