Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之比為，過的直線與交于，兩點(diǎn).

（1）當(dāng)的斜率為時(shí)，求的面積；

（2）當(dāng)線段的垂直平分線在軸上的截距最小時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）12（2）

【解析】

（1）結(jié)合橢圓性質(zhì)，得到橢圓方程，聯(lián)解直線與橢圓方程，結(jié)合，計(jì)算面積，即可。（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，利用，建立關(guān)于k，m的式子，計(jì)算最值，即可。

解：（1）依題意，因，又，得，

所以橢圓的方程為，

設(shè)、，當(dāng)時(shí)，直線：

將直線與橢圓方程聯(lián)立，

消去得，，解得，，，

所以 .

（2）設(shè)直線的斜率為，由題意可知，

由，消去得，

恒成立，，

設(shè)線段的中點(diǎn)，

設(shè)線段的中點(diǎn)，

則，，

設(shè)線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，則，得.

，

整理得：， ，等號(hào)成立時(shí).

故當(dāng)截距最小為時(shí)，，此時(shí)直線的方程為.