Question

【題目】已知函數（， 為常數），函數（為自然對數的底）.

（1）討論函數的極值點的個數；

（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求得 ，分三種情況討論，分別研究函數的單調性進而可得函數極值點的個數；（2）不等式對恒成立，等價于只需研究函數的最小值不小于零即可.

試題解析：（1） ，

由得： ，記，則，

由得，且時， ， 時， ，

所以當時， 取得最大值，又，

（i）當時， 恒成立，函數無極值點；

（ii）當時， 有兩個解， ，且時， ， 時， ， 時， ，所以函數有兩個極值點；

（iii）當時，方程有一個解，且時， 時， ，所以函數有一個極值點；

（2）記 ，

由，

， ，

由，

又當， 時， ，

， 在區間上單調遞增，

所以恒成立，即恒成立，

綜上實數的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法 ③ 求得的范圍的.