Question

【題目】四棱錐的底面為菱形，，，為的中點，為上一點，且，若，.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）通過證明直線與平面內的一條直線平行證明直線與平面平行；（2）通過證明直線與平面內的兩條相交直線垂直證明直線與平面垂直；（3）利用等體積法求解三棱錐的高，進而求解線面角的正弦值或通過建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角公式求解.

解：（1）證明：連接，交于點，連接，則，

∴，又平面，平面，

從而平面.

（2）證明：連接，

∵，是中點，

∴，

又，，

∴，

又是中點，∴，

且易求，，

∴，從而，

又，

∴平面.

（3）解法一：設到平面的距離為，與平面所成角為，則

∵，

∴，

計算可得，，

∴，又∵，

∴，從而.

解法二：作平面，以為坐標原點，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設，由，，

得解得

∴.

設平面的法向量為，，，

則，

令，得，

∴，

記直線與平面所成角為，

則.