Question

【題目】中國高鐵的快速發展給群眾出行帶來巨大便利，極大促進了區域經濟社會發展.已知某條高鐵線路通車后，發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，，經測算，高鐵的載客量與發車時間間隔相關：當時高鐵為滿載狀態，載客量為1000人；當時，載客量會在滿載基礎上減少，減少的人數與成正比，且發車時間間隔為5分鐘時的載客量為100人.記發車間隔為分鐘時，高鐵載客量為.

（1）求的表達式；

（2）若該線路發車時間間隔為分鐘時的凈收益（元），當發車時間間隔為多少時，單位時間的凈收益最大？

Answer 1

【答案】（1），（2）發車時間間隔為10分鐘時，最大.

【解析】

（1）當時，設，代入數據計算，得到解析式.

（2）考慮和兩種情況，計算的解析式，求導得到函數單調性，計算最值得到答案.

（1）當時，不妨設，，

解得，因此.

（2）當時，，

因此，.

因為，當時，，單增；

當時，，單減，所以.

當時，，

因此，.

因為，此時單減，所以，

綜上，發車時間間隔為10分鐘時，最大.