Question

選修4—1：幾何證明選講
D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點，且不與△ABC的頂點重合。已知AE的長為，AC的長為,AD、AB的長是關于的方程的兩個根。
（1）證明：C、B、D、E四點共圓；
（2）若∠A=90°，且，求C、B、D、E所在圓的半徑。

Answer 1

（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，
                
即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB                                 
所以C,B,D,E四點共圓。
（Ⅱ）m="4," n=6時，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.
取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.
由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5

（（I）做出輔助線，根據所給的AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x²-14x+mn=0的兩個根，得到比例式，根據比例式得到三角形相似，根據相似三角形的對應角相等，得到結論．
（II）根據所給的條件做出方程的兩個根，即得到兩條線段的長度，取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH，根據四點共圓得到半徑的大小．
解：（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，

即
又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四點共圓．
（Ⅱ）m=4，n=6時，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2，x₂=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH．
∵C，B，D，E四點共圓，
∴C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12-2）=5．
故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5