Question

【題目】已知函數.

(1)求函數的單調區間

(2)若存在,使得成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)當 a≤﹣1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數，當a＞﹣1時，在（0，1+a）上是減函數，在（1+a，+∞）上是增函數；(2) （﹣∞，﹣2）∪（，+∞）.

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，并因式分解得，按 分類討論導函數符號變化規律，即得函數單調區間 （2）先將存在性問題轉化為函數最值問題，即 ，再利用（1）討論函數最小值： ； ；

試題解析：（1）函數f（x）=x﹣alnx+的定義域為（0，+∞），

f′（x）=1﹣﹣=，

①當1+a≤0，即a≤﹣1時，

f′（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是增函數；

②當1+a＞0，即a＞﹣1時，

x∈（0，1+a）時，f′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）時，f′（x）＞0；

故f（x）在（0，1+a）上是減函數，在（1+a，+∞）上是增函數；

（2）①當a≤﹣1時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（1）=1+1+a＜0，

解得，a＜﹣2；

②當﹣1＜a≤0時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；

③當0＜a≤e﹣1時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，無解；

④當e﹣1＜a時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（e）=e﹣a+＜0，

解得，a＞；

綜上所述，a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．