Question

【題目】如圖，在三棱柱 中， 底面 ，且 為等邊三角形， ， 為 的中點.

（1）求證：直線 平面 ；
（2）求三棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，

連接B1C交BC1于O，連接OD，因為四邊形BCC1B1是平行四邊形，所以點O為B1C的中點，
又因為D為AC的中點，所以OD為△AB1C的中位線，所以OD∥B1A，
又OD平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD
（2）解 : 因為△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，所以BD⊥AC，
又因為AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，
根據線面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1 ， △ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3 ，
∴S△BCD= ×3×3 = ，∴ = = 6=9
【解析】(1)根據題意作出輔助線結合平行四邊形以及中位線的性質可得OD∥B1A，由線面平行的判定定理即可得證。(2) 根據已知條件得出線線垂直進而得出線面垂直即為點到模的距離也就是高的值，把已知數值代入到三棱錐的條件公式求出結果即可。