Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然對數的底數，e=2.71828…）．
（Ⅰ）當a=e時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 當a=e時，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e，
當x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．
所以函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣e，函數f（x）無極大值．
（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當x＜lna時，f'（x）＜0；當x＞lna時，f'（x）＞0，
所以函數f（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=elna﹣alna﹣a=﹣alna，
由f（lna）≥0得﹣alna≥0，
解得0＜a≤1．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數a的取值范圍是[0，1]．
【解析】（Ⅰ） 當a=e時，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e，由導數確定函數的單調性及極值；
（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．