Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，PA=PC，二面角P﹣AC﹣B的大小為60°；

（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求AB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD⊥AC，PD⊥AC，BD∩PD=D，

∴AC⊥面PBD，

又AC面PAC，所以 面PAC⊥面PBD，

即平面平面PBD⊥平面PAC

（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），

令A(yù)（1，0，0），則B（0， ，0），C（﹣1，0，0），

又∠PDB為二面角P﹣AC﹣B的平面角，得∠PDB=60°，

設(shè)DP=λ，則P（0， ， λ），

設(shè) =（x，y，z）為面PAC的法向量，則 =（﹣2，0，0）， =（﹣1， ， λ），

得 取y= ，得 =（0， ，﹣1），

又 =（﹣1， ，0）得 cos＜ ， ＞= ，

∴AB與平面PAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）證明AC⊥面PBD，即可證明平面PBD⊥平面PAC；（2）求出面PAC的法向量，利用向量的方法求AB與平面PAC所成角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．