Question

（12分）已知函數（），其中．
（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；
（Ⅱ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）在，內是增函數，在，內是減函數．
（Ⅱ）滿足條件的的取值范圍是．
（Ⅲ）滿足條件的的取值范圍是

（Ⅰ）解：．
當時，．
令，解得，，．
當變化時，，的變化情況如下表：

所以在，內是增函數，在，內是減函數．
（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須成立，即有．
解些不等式，得．這時，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是．
（Ⅲ）解：由條件，可知，從而恒成立．
當時，；當時，．
因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，在上恒成立．
所以，因此滿足條件的的取值范圍是