Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿(mǎn)足以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線過(guò)右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）由點(diǎn)在橢圓上代入可得，的關(guān)系，再由點(diǎn)滿(mǎn)足以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)．可得可得，的關(guān)系，再由，，的關(guān)系求出橢圓的方程；

（2）由（1）可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，分坐標(biāo)的斜率為0和不為0兩種情況討論，假設(shè)存在滿(mǎn)足條件，設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出數(shù)量積的表達(dá)式，要使數(shù)量積為定值，則分子分母對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)成比例，可得的值，且可求出定值．

解：（1）由題意可得上頂點(diǎn)，，所以：，，即，，即，，

解得：，，

所以橢圓的方程為：；

（2）由（1）可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)存在

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，

聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得：，，，

，，

因?yàn)?/span>

，

要使為定值，則，解得：，這時(shí)為定值，

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，，為，，則，，，

綜上所述：所以存在，，使為定值．