Question

如圖，已知三棱錐的側棱與底面垂直，,, M、N分別是的中點，點P在線段上，且,

（1）證明：無論取何值，總有.
（2）當時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）

試題分析：（1）通過建立坐標系，寫出相應的點的坐標，表示出向量與向量.通過計算向量與向量的數量積，即可得到結論.
（2）當時，要求平面與平面所成銳二面角的余弦值，因為這兩個平面的交線沒畫出來，所以用這兩個平面的法向量的夾角的大小來表示. 平面的法向量較易表示，平面的法向量要通過待定系數法求得.由于求銳二面角，所以求法向量的夾角的余弦值取正的即可.

試題解析：以A為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，
則A₁（0，0，2），B₁（2，0，2）， M（0，2，1），N（1,1，0），

，
（1）∵，∴.
∴無論取何值， .          5分
（2）時，, .
而面 ，設平面的法向量為，
則 ,
設為平面與平面ABC所成銳二面角，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是         12分