Question

已知函數。
（Ⅰ）設，討論的單調性；
（Ⅱ）若對任意恒有，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數, f(x)在(－,)為減函數；（Ⅱ）a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數得 f '(x)= e^－ax.  
(ⅰ)當a=2時, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0,
所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數.
(ⅱ)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數.
(ⅲ)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)="0" ,解得x₁= － , x₂= .
當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x	(－∞, －)	(－,)	(,1)	(1,+∞)
f '(x)	＋	－	＋	＋
f(x)	↗	↘	↗	↗

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數,
f(x)在(－,)為減函數.
(Ⅱ)(ⅰ)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.
(ⅱ)當a>2時, 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1
(ⅲ)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得
f(x)= e^－ax≥ >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.