Question

一次研究性課堂上，老師給出函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同學在研究此函數時給出以下命題：
①函數f（x）的值域為[-1，1]；     
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③對任意的x₁，x₂∈R，存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
④若規定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 則 fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述命題中正確的是

②③

．（請將正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用奇函數的定義判斷出f（x）為奇函數，通過對x的分段討論去掉絕對值轉化為分段函數，討論x≥0的值域、單調性判斷，由此可得結論．

解答：解：①∵f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數
∵f(x)=

x

1+|x|

= 

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）為奇函數，∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）
∴函數f（x）的值域為f（x）∈（-1，1），故①不正確；
②當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)為增函數，
∵f（x）為奇函數，∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數，∴f（x在（-1，1）上為增函數
故②正確；
③對任意的x₁，x₂∈R，當x₁=x₂時，存在x₀=x₁，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
當x₁≠x₂時，不妨設x₁＜x₂，
∵f（x在（-1，1）上為增函數，f（x₁）+f（x₂）＜2f（x₂），∴f（x₀）＜f（x₂），
∵f（x在（-1，1）上為增函數，∴x₀＜x₂，∴存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立，故③正確；
④f_n（x）=f（f₁（x））=f（f（x）=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

=

x

1+nx

不恒成立，故④不正確；
綜上知，命題中正確的是：②③
故答案為：②③

點評：本題考查分段函數的性質，要注意結合函數值域求法及單調性判斷方法加以判斷，綜合性強．