Question

（2011•許昌一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱錐C₁-CDB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）先根據AC=3，BC=4，AB=5得到AC⊥BC；再結合其為直棱柱得到AC⊥CC₁，即可證明AC⊥平面BCC₁B₁，進而得到AC⊥BC₁；
（2）先設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE；跟怒邊長相等得到E為正方形對角線的交點，E為中點；再結合點D是AB的中點可得DE∥AC₁，進而得到AC₁∥平面CDB₁；
（3）直接根據等體積轉化，把問題轉化為求三棱錐D-C₁CB₁的體積再代入體積計算公式即可．

解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC．
∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，又BC∩CC₁=C．
∴AC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AC⊥BC₁…（5分）
（2）設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，
因為；BC=AA₁=4，
所以BCC₁B₁為正方形，
故E是C₁B的中點，
∵D是AB的中點，E是C₁B的中點，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．．     …（10分）
（3）因為AC⊥平面BCC₁B₁，，D為中點
所以D到平面BCC₁B₁的距離等于

1

2

AC，
∵VC1-CDB 1
=VD-B 1C 1C 
=

1

3

S△B 1C 1C •

1

2

AC
=

1

3

×（

1

2

×4×4）×

1

2

×3
=4．…（14分）

點評：本題是對立體幾何知識的綜合考查．一般在求三棱錐的體積直接不好找時，常用等體積轉化求解．（轉化為高好找的三棱錐）