Question

17、如圖是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中x的值．
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：本題考察的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖、離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，各組的頻率之和為1，我們易得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解方程即可得到答案．
（2）由頻率分布直方圖中月均用水量各組的頻率，我們易得X～B（3，0.1）．然后將數(shù)據(jù)代入后，可分別算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到隨機(jī)變量X的分布列，然后代入數(shù)學(xué)期望公式，可進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12．
（Ⅱ）由題意知，X～B（3，0.1）．
因此P（X=0）=C₃⁰×0.9³=0.729，
P（X=1）=C₃¹×0.1×0.9²=0.243，
P（X=2）=C₃²×0.1²×0.9=0.027，
P（X=3）=C₃³×0.1³=0.001．
故隨機(jī)變量X的分布列為

X的數(shù)學(xué)期望為EX=3×0.1=0.3．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)新高考服務(wù)于新教材的原則，作為新教材的新增內(nèi)容--頻率分布直方圖是新高考的重要考點(diǎn)，同時(shí)（2）中概隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也是高考的熱點(diǎn)．對(duì)于“頻率分布直方圖學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫圖、看圖和用圖，對(duì)于概率要多練習(xí)使用列舉法表示滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)．對(duì)于數(shù)學(xué)期望的計(jì)算則要熟練掌握運(yùn)算方法和步驟．