Question

已知函數．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；
（3）設函數，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）實數的取值范圍是；（3）實數的取值范圍．

試題分析：（1）求的導數，找出處的導數即切線的斜率，由點斜式列出直線的方程即可；（2）求出函數的定義域，在定義域內利用導數與函數增減性的關系，轉化為恒成立問題進行求解即可；(3)討論在定義域上的最值，分情況討論的增減性，進而解決存在成立的問題即可．
（1）當時，函數，
，曲線在點處的切線的斜率為
從而曲線在點處的切線方程為，即    3分
（2）
令，要使在定義域內是增函數，只需在內恒成立
由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為
∴，     只需，即時，
∴在內為增函數，正實數的取值范圍是         7分
（3）∵在上是減函數
∴時，；時，，即
①當時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側，且，所以在內是減函數
當時，，因為，所以，
此時，在內是減函數
故當時，在上單調遞減，不合題意
②當時，由，所以
又由(Ⅱ)知當時，在上是增函數
∴，不合題意      12分
③當時，由(Ⅱ)知在上是增函數，
又在上是減函數，故只需，
而，
即，解得
所以實數的取值范圍是     15分．